Exercice 2, § 10

On suppose $K = \mathbf{Q}_p$. Soit $G$ un groupe de Lie de dimension finie. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: a) il existe $x_1, x_2, \ldots, x_n$ dans $G$ tels que le sous-groupe de $G$ engendré par $\{x_1, \ldots, x_n\}$ soit dense dans $G$; b) $G$ est engendré par une partie compacte. (Pour prouver que b) implique a), observer que, si $(e_1, \ldots, e_n)$ est une base de $L(G)$, $(\exp \mathbf{Z}_p e_1)(\exp \mathbf{Z}_p e_2) \ldots (\exp \mathbf{Z}_p e_n)$ est un voisinage de $e$.)