Exercice 3, § 3

Soit $E$ l’espace vectoriel complexe des matrices complexes symétriques à 2 lignes et 2 colonnes. Pour tout $s \in \mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$, on définit un automorphisme $\rho(s)$ de $E$ par $\rho(s)(m) = s.m.s^t$.

a) Montrer que $\rho$ est une représentation linéaire analytique de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$. Identifiant $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \in E$ à $(a, b, c) \in \mathbf{C}^3$, la matrice de $\rho \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ est

b) Montrer que $m \mapsto \det(m)$ est la forme quadratique $q(a, b, c) = ac - b^2$, non dégénérée sur $E$, et que $\rho$ est un morphisme de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ sur $\mathbf{SO}(q)$ de noyau $\{I, -I\}$. (Pour la surjectivité, on pourra observer que, dans la matrice d’un élément de $\mathbf{SO}(q)$, la 1ère colonne peut se mettre sous la forme $(\alpha^2, \alpha\gamma, \gamma^2)$ et la 3ème colonne sous la forme $(\beta^2, \beta\delta, \delta^2)$, avec $\alpha^2\delta^2 + \beta^2\gamma^2 - 2\alpha\gamma\beta\delta = 1$. Observer ensuite que 2 éléments de $\mathbf{SO}(q)$ qui coïncident dans un plan non isotrope sont égaux.)

c) En déduire que le groupe de Lie complexe $\mathbf{SO}(3, \mathbf{C})$ est isomorphe au groupe de Lie complexe $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}$.