Bài tập 3, § 3

Cho E là không gian vectơ phức của các ma trận phức đối xứng có 2 hàng và 2 cột. Với mọi $s \in \mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$, ta định nghĩa một tự đẳng cấu $\rho(s)$ của E bởi $\rho(s).m = s.m.s^t$. (a) Chứng minh rằng $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$. Nhận dạng $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \in E$ với $(a, b, c) \in \mathbf{C}^3$, ma trận của $\rho \left( \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \right)$ là

(b) Chứng minh rằng $m \mapsto \det(m)$ là dạng toàn phương không suy biến trên E và rằng $\rho$ là một cấu xạ của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ lên $\mathbf{SO}(q)$ với hạt nhân $\{I, -I\}$. (Để chứng minh tính toàn ánh, hãy nhận xét rằng, trong ma trận của một phần tử của $\mathbf{SO}(q)$, cột thứ 1 có thể được biểu diễn dưới dạng $(\alpha^2, \alpha\gamma, \gamma^2)$ và cột thứ 3 dưới dạng $(\beta^2, \beta\delta, \delta^2)$, trong đó $\alpha^2\delta^2 + \beta^2\gamma^2 - 2\alpha\gamma\beta\delta = 1$. Sau đó nhận xét rằng 2 phần tử của $\mathbf{SO}(q)$ trùng nhau trên một mặt phẳng không đẳng hướng thì bằng nhau.) (c) Suy ra rằng nhóm Lie phức $\mathbf{SO}(3, \mathbf{C})$ đẳng cấu với nhóm Lie phức $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}$.