Exercice 6, § 3

Soit F l’espace vectoriel des matrices complexes hermitiennes à 2 lignes et 2 colonnes. Pour tout s ∈ SL(2, C), on définit un automorphisme σ(s) de F par σ(s)(m) = sms*. On identifie l’élément $\begin{pmatrix} t + x & y + iz \\ y - iz & t - x \end{pmatrix}$ de F à l’élément (t, x, y, z) de $\mathbf{R}^4$, et on pose

Soit C l’ensemble des (t, x, y, z) ∈ $\mathbf{R}^4$ tels que $t^2 - x^2 - y^2 - z^2 > 0$, $t > 0$. Soit SO⁺(q) l’ensemble des g ∈ SO(q) tels que g(C) = C; c’est un sous-groupe distingué ouvert de SO(q), d’indice 2 dans SO(q) (cf. exerc. 4)). Montrer que σ est un morphisme du groupe de Lie réel sous-jacent à SL(2, C) sur le groupe de Lie réel SO⁺(q), de noyau {I, −I}. (Pour la surjectivité, utiliser l’exerc. 5)). En déduire que le groupe de Lie réel SO⁺(q) est isomorphe au groupe de Lie réel sous-jacent à SL(2, C)/{I, −I}, c’est-à-dire (exerc. 3) au groupe de Lie réel sous-jacent à SO(3, C).