Bài tập 6, § 3

Cho F là không gian vectơ của các ma trận phức Hermit có 2 hàng và 2 cột. Với mọi $s \in \mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$, ta định nghĩa một tự đẳng cấu $\sigma(s)$ của F bởi $\sigma(s)(m) = sms^*$. Ta đồng nhất phần tử $\begin{pmatrix} t + x & y + iz \\ y - iz & t - x \end{pmatrix}$ của F với phần tử $(t, x, y, z)$ của $\mathbf{R}^4$ và viết

Cho C là tập hợp các $(t, x, y, z) \in \mathbf{R}^4$ sao cho $t^2 - x^2 - y^2 - z^2 > 0,\ t > 0$. Cho $\mathbf{SO}^+(q)$ là tập hợp các $g \in \mathbf{SO}(q)$ sao cho $g(C) = C$; nó là một nhóm con chuẩn mở của $\mathbf{SO}(q)$ có chỉ số 2 trong $\mathbf{SO}(q)$ (xem Bài tập 4). Chứng minh rằng $\sigma$ là một cấu xạ từ nhóm Lie thực nền của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ lên nhóm Lie thực $\mathbf{SO}^+(q)$ có hạt nhân $\{I, -I\}$. (Để chứng minh tính toàn ánh, sử dụng Bài tập 5.) Suy ra rằng nhóm Lie thực $\mathbf{SO}^+(q)$ đẳng cấu với nhóm Lie thực nền của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})/\{I, -I\}$, nghĩa là (Bài tập 3) nhóm Lie thực nền của $\mathbf{SO}(3, \mathbf{C})$.