Exercice 1, § 4

Soient $G$ un groupe de Lie, $H$ un quasi-sous-groupe de Lie distingué de $G$, $\pi$ l’application canonique de $G$ sur $G/H$. Il existe sur $G/H$ une structure de groupe de Lie et une seule possédant la propriété suivante : pour qu’un homomorphisme $\theta$ de $G/H$ dans un groupe de Lie $G'$ soit un morphisme de groupes de Lie, il faut et il suffit que $\theta \circ \pi$ soit un morphisme de groupes de Lie. En outre, $L(G/H)$ est canoniquement isomorphe à $L(G)/L(H)$. (Soit $Q$ un groupuscule de Lie tel que $L(Q) = L(G)/L(H)$. Montrer que, en diminuant au besoin $Q$, on peut identifier $Q$ à un voisinage ouvert de $0$ dans $G/H$, et qu’on peut ensuite appliquer à $G/H$ la prop. 18 du § 1.)