Exercice 5, § 4

Soit $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbf{R}^3$. On munit $\mathbf{R}^3$ de la structure d’algèbre de Lie nilpotente $g$ telle que $[e_1, e_2] = e_3,\ [e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0$. Notons $c_{ijk}$ les constantes de structure de $g$ relativement à la base $(e_1, e_2, e_3)$. a) Montrer que, sur $\mathbf{R}^3$, les formes différentielles

vérifient les relations

et sont linéairement indépendantes en chaque point de $\mathbf{R}^3$. b) En déduire qu’il existe, sur un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbf{R}^3$, une structure de groupuscule de Lie G telle que $L(G) = g$ et

pour $(a_1, a_2, a_3),\ (x_1, x_2, x_3)$ assez voisins de 0. Montrer qu’en fait les formules (1) définissent une structure de groupe de Lie nilpotent sur $\mathbf{R}^3$.