Bài tập 5, § 4

Cho $(e_1, e_2, e_3)$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^3$. Ta cho $\mathbf{R}^3$ cấu trúc đại số Lie lũy linh $g$ sao cho $[e_1, e_2] = e_3,\ [e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0$. Gọi $c_{ijk}$ là các hằng số cấu trúc của $g$ đối với cơ sở $(e_1, e_2, e_3)$.

(a) Chứng minh rằng trên $\mathbf{R}^3$ các dạng vi phân

thỏa mãn các hệ thức và độc lập tuyến tính tại mỗi điểm của $\mathbf{R}^3$.

(b) Suy ra rằng tồn tại, trên một lân cận mở của 0 trong $\mathbf{R}^3$, một cấu trúc mầm nhóm Lie $G$ sao cho $L(G) = g$ và

đối với $(a_1, a_2, a_3),\ (x_1, x_2, x_3)$ đủ gần 0. Chứng minh rằng thực tế các công thức (1) định nghĩa một cấu trúc nhóm Lie lũy linh trên $\mathbf{R}^3$.