Exercice 7, § 4

a) Soit (\lambda, x) \mapsto \lambda . x une loi d’opération à gauche continue de \mathbf{R} dans \mathbf{T}. Alors, de deux choses l’une: 1) ou bien il existe un point fixe, et le stabilisateur de tout point est, soit \mathbf{R}, soit \{0\}; 2) ou bien il existe un point dont le stabilisateur est un sous-groupe discret infini de \mathbf{R}, et \mathbf{R} opère transitivement sur \mathbf{T}. (Si \{\lambda \in \mathbf{R} \mid \lambda . x = x\} = \{0\}, l’orbite de x est homéomorphe à \mathbf{R} et possède des points frontières \lim_{\lambda \to \pm \infty} \lambda . x qui sont fixes. Si \{\lambda \in \mathbf{R} \mid \lambda . x = x\} = \mathbf{Z}a avec a \neq 0, l’orbite de x est homéomorphe à \mathbf{T} et \mathbf{R} est transitif.) b) Si f est un homéomorphisme de \mathbf{T} sur lui-même, et k un entier \geqslant 1, on dit qu’un point x \in \mathbf{T} est périodique de période k pour f si f^k(x) = x et f^h(x) \neq x pour 1 \leqslant h < k. Avec les notations de a), soit f_\lambda l’homéomorphisme x \mapsto \lambda . x. Alors l’ensemble des points périodiques de période k > 1 pour f_\lambda est vide ou égal à \mathbf{T}. (S’il existe un point périodique de période k > 1 pour f_\lambda, son stabilisateur est distinct de \{0\} et de \mathbf{R}, donc \mathbf{R} opère transitivement dans \mathbf{T}, et tous les points de \mathbf{T} sont périodiques de période k pour f_\lambda.) c) Soit $\Omega$ un voisinage de e dans $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$ (VAR, R, 15.3.8, note (1)). Il existe un entier $k > 1$, et un $f \in \Omega$ sans point fixe, tels que l’ensemble des points périodiques de période k pour f ne soit ni vide ni égal à $\mathbf{T}$. (Soit $p : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ l’application canonique. Soit $\rho$ l’application $p(x) \mapsto p\left(x + \frac{2\pi}{k}\right)$ de $\mathbf{T}$ dans $\mathbf{T}$. Soit $\Omega'$ un voisinage de e dans $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$ tel que ${\Omega'}^2 \subset \Omega$. Pour k assez grand, on a $\rho \in \Omega'$. D’autre part, soit $\sigma$ une application de $\mathbf{T}$ dans $\mathbf{T}$ telle que $\sigma(y) = y$ pour $y \notin p\left(]0, \frac{2\pi}{k}[\right)$ et $\sigma(p(x)) = p(x + \lambda(x))$ pour $x \in ]0, \frac{2\pi}{x}[$, avec

on peut choisir \lambda de telle sorte que \sigma \in \Omega’. Alors f = \rho \circ \sigma a les propriétés requises.) Un tel f ne peut, d’après b), être dans l’image d’un morphisme continu de \mathbf{R} dans Diff^\infty(\mathbf{T}). d) Soit Y une variété différentielle compacte de dimension \geqslant 1. Tout voisinage de e dans Diff^\infty(Y) contient un élément h possédant la propriété suivante: h n’appartient à l’image d’aucun morphisme continu de \mathbf{R} dans Diff^0(Y). (La variété Y contient une sous-variété ouverte de la forme \mathbf{T} \times D, où D est la boule euclidienne ouverte de rayon 1 et de centre 0 dans \mathbf{R}^n (n = \dim Y - 1). Soit g \in Diff^\infty(D) tel que g(0) = 0, \|g(x)\| > \|x\| pour 0 < \|x\| < \frac{1}{2} et g(x) = x pour \|x\| \geqslant \frac{1}{2}, et g très voisin de e dans Diff^\infty(D). Soit f comme dans c), et, pour 0 < t < 1, soit f_t : \mathbf{T} \to \mathbf{T} défini comme suit: pour x \in \mathbf{T}, y \in p^{-1}(x), z \in p^{-1}(f(x)) et |z - y| < \pi, on pose f_t(x) = p(ty + (1 - t)z). Il existe alors h \in Diff^\infty(Y) tel que h(x, y) = (f_{2\|y\|}(x), g(y)) pour x \in \mathbf{T}, y \in D et h(u) = u pour u \in Y - (\mathbf{T} \times D); en outre, on peut choisir f et g de telle sorte que h soit arbitrairement voisin de e dans Diff^\infty(Y). Les points de \mathbf{T} \times \{0\} sont les y \in Y tels que quand n tend vers +\infty, h^{kn}(x) tende vers un point non fixe par h (en fait périodique de période k). Par suite, tout homéomorphisme de Y sur Y qui commute avec h laisse \mathbf{T} \times \{0\} invariant. Appliquer alors c)). e) Soit Y une variété différentielle compacte de dimension \geqslant 1. Il n’existe pas de groupe de Lie G et de morphismes continus Diff^\infty(Y) \to G, G \to Diff^0(Y) dont le composé soit l’injection canonique de Diff^\infty(Y) dans Diff^0(Y). (Utiliser d).)