Bài tập 7, § 4

(a) Cho $(\lambda, x) \mapsto \lambda.x$ là một luật phép toán trái liên tục của $\mathbf{R}$ trên $\mathbf{T}$. Khi đó một trong hai điều sau đây xảy ra: (1) hoặc tồn tại một điểm cố định và nhóm ổn định của mỗi điểm là $\mathbf{R}$ hoặc $\{0\}$; (2) hoặc tồn tại một điểm mà nhóm ổn định của nó là một nhóm con rời rạc vô hạn của $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}$ tác động bắc cầu trên $\mathbf{T}$. (Nếu $\{\lambda \in \mathbf{R} | \lambda.x = x\} = \{0\}$, quỹ đạo của $x$ là đồng phôi với $\mathbf{R}$ và có các điểm biên $\lim_{\lambda \to +\infty} \lambda.x$ là các điểm cố định. Nếu $\{\lambda \in \mathbf{R} | \lambda.x = x\} = \mathbf{Z}a$ với $a \neq 0$, quỹ đạo của $x$ là đồng phôi với $\mathbf{T}$ và $\mathbf{R}$ là bắc cầu.)

(b) Nếu $f$ là một đồng phôi từ $\mathbf{T}$ lên chính nó và $k$ là một số nguyên $\geqslant 1$, một điểm $x \in \mathbf{T}$ được gọi là tuần hoàn có chu kỳ $k$ đối với $f$ nếu $f^k(x) = x$ và $f^h(x) \neq x$ với $1 \leqslant h < k$. Theo ký hiệu của (a), cho $f_\lambda$ là đồng phôi $x \mapsto \lambda.x$. Khi đó tập hợp các điểm tuần hoàn có chu kỳ $k > 1$ đối với $f_\lambda$ là rỗng hoặc bằng $\mathbf{T}$. (Nếu tồn tại một điểm tuần hoàn có chu kỳ $k > 1$ đối với $f_\lambda$, nhóm ổn định của nó phân biệt với $\{0\}$ và $\mathbf{R}$, do đó $\mathbf{R}$ tác động bắc cầu trên $\mathbf{T}$ và mọi điểm của $\mathbf{T}$ đều tuần hoàn có chu kỳ $k$ đối với $f_\lambda$.)

(c) Cho $\Omega$ là một lân cận của $e$ trong $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$ (Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 15.3.8, Chú ý (1)). Tồn tại một số nguyên $k > 1$ và $f \in \Omega$ không có điểm bất động sao cho tập hợp các điểm tuần hoàn có chu kỳ $k$ của $f$ không rỗng cũng không bằng $\mathbf{T}$. (Cho $p : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ là ánh xạ chính tắc. Cho $\rho$ là ánh xạ $p(x) \mapsto p\left(x + \frac{2\pi}{k}\right)$ của $\mathbf{T}$ vào $\mathbf{T}$. Cho $\Omega'$ là một lân cận của $e$ trong $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$ sao cho ${\Omega'}^2 \subset \Omega$. Với $k$ đủ lớn, $\rho \in \Omega'$. Mặt khác, cho $\sigma$ là một ánh xạ của $\mathbf{T}$ vào $\mathbf{T}$ sao cho $\sigma(y) = y$ đối với

và $\sigma(p(x)) = p(x + \lambda(x))$ đối với $x \in ]0, \frac{2\pi}{k}[$, trong đó có thể chọn sao cho $\sigma \in \Omega'$. Khi đó $f = \rho \circ \sigma$ có các tính chất yêu cầu.)

Một $f$ như vậy không thể, theo (b), thuộc ảnh của một cấu xạ liên tục của $\mathbf{R}$ vào $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$.

(d) Cho $Y$ là một đa tạp khả vi compắc có chiều $\geqslant 1$. Mọi lân cận của $e$ trong $\mathrm{Diff}^\infty(Y)$ đều chứa một phần tử $h$ có tính chất sau: $h$ không thuộc ảnh của bất kỳ cấu xạ liên tục nào từ $\mathbf{R}$ vào $\mathrm{Diff}^0(Y)$. (Đa tạp $Y$ chứa một đa tạp con mở có dạng $\mathbf{T} \times D$, trong đó $D$ là quả cầu mở Euclid bán kính 1 và tâm 0 trong $\mathbf{R}^n$ ($n = \dim Y - 1$). Lấy $g \in \mathrm{Diff}^\infty(D)$ sao cho $g(0) = 0$, $\|g(x)\| > \|x\|$ với $0 < \|x\| < \frac{1}{2}$ và $g(x) = x$ với $\|x\| \geqslant \frac{1}{2}$, và $g$ rất gần $e$ trong $\mathrm{Diff}^\infty(D)$. Lấy $f$ như trong (c), và, với $0 < t < 1$, định nghĩa $f_t : \mathbf{T} \to \mathbf{T}$ như sau: với $x \in \mathbf{T}$, $y \in p^{-1}(x)$, $z \in p^{-1}(f(x))$ và $|z - y| < \pi$, ta viết $f_t(x) = p(ty + (1 - t)z)$. Khi đó tồn tại $h \in \mathrm{Diff}^\infty(Y)$ sao cho $h(x, y) = (f_{2\|y\|}(x), g(y))$ với $x \in \mathbf{T}$, $y \in D$ và $h(u) = u$ với $u \in Y - (\mathbf{T} \times D)$; hơn nữa, ta có thể chọn $f$ và $g$ sao cho $h$ gần $e$ tùy ý trong $\mathrm{Diff}^\infty(Y)$. Các điểm của $\mathbf{T} \times \{0\}$ là các $y \in Y$ sao cho khi $n$ tiến tới $+\infty$, $h^{kn}(x)$ tiến tới một điểm không bất biến dưới $h$ (thực ra nó tuần hoàn với chu kỳ $k$). Do đó, mọi đồng phôi của $Y$ lên $Y$ giao hoán với $h$ đều để $\mathbf{T} \times \{0\}$ bất biến. Khi đó áp dụng (c).)

(e) Cho $Y$ là một đa tạp khả vi compắc có chiều $\geqslant 1$. Không tồn tại một nhóm Lie $G$ và các cấu xạ liên tục $\mathrm{Diff}^\infty(Y) \to G$, $G \to \mathrm{Diff}^0(Y)$ mà hợp thành của chúng là đơn ánh chính tắc của $\mathrm{Diff}^\infty(Y)$ vào $\mathrm{Diff}^0(Y)$. (Dùng (d).)