Exercice 9, § 4

Soit G un groupe de Lie compact sur K, de dimension n. On suppose que l’algèbre de Lie L(G) est simple. Pour tout g ∈ G, tout entier m ≥ 1, et tout voisinage V de e dans G, on note M(g, m, V) l’ensemble des éléments de G de la forme $\prod_{i=1}^{m} x_i(y_i, g)x_i^{-1}$, pour $x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_m$ dans V.

a) Montrer que si g est un élément de G dont le centralisateur n’est pas ouvert, si m est un entier $\geq n$, et si V est un voisinage de e, alors M(g, m, V) est un voisinage de e. (Il existe $a \in L(G)$ tel que (Ad g)(a) ≠ a. Soit φ une application exponentielle de G. Soit y l’image de 1 par l’application tangente en 0 à $\lambda \mapsto (\varphi(\lambda a), g)$ (où $\lambda \in K$). On a $b = (\mathrm{Ad}\ g - 1)(a) \neq 0$. Il existe $x_1, \ldots, x_m$ dans V tels que { (Ad $x_1$)(b), ..., (Ad $x_m$)(b) } contienne une base de L(G).

On considère l’application $(x'_1, \ldots, x'_m, y_1, \ldots, y_m) \mapsto \prod_{i=1}^{m} x'_i(y_i, g){x'_i}^{-1}$ de $G^{2m}$ dans G. Montrer que l’application tangente en $(x_1, \ldots, x_m, e, \ldots, e)$ est surjective.)

b) Soit U un voisinage de e dans G. Soit m un entier $\geq 1$. Il existe un élément g de G dont le centralisateur n’est pas ouvert, tel que M(g, m, G) ⊂ U. (Raisonner par l’absurde en utilisant la compacité de G.)

c) Soit G’ un groupe de Lie compact sur K dont l’algèbre de Lie est simple. Soit $\varphi : G \to G'$ un homomorphisme bijectif de groupes abstraits. Alors $\varphi$ est continu. (Appliquer b) à G’ et a) à G.)