Bài tập 9, § 4

Cho $G$ là một nhóm Lie compact trên $K$, có chiều $n$. Ta giả sử rằng đại số Lie $L(G)$ là đơn. Với mọi $g \in G$, mọi số nguyên $m \geq 1$, và mọi lân cận $V$ của $e$ trong $G$, ta ký hiệu bởi $M(g, m, V)$ tập hợp các phần tử của $G$ có dạng $\prod_{i=1}^{m} x_i(y_i, g)x_i^{-1}$, với $x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_m$ thuộc $V$.

a) Chứng minh rằng nếu $g$ là một phần tử của $G$ có nhóm con trung tâm hóa không mở, nếu $m$ là một số nguyên $\geq n$, và nếu $V$ là một lân cận của $e$, thì $M(g, m, V)$ là một lân cận của $e$. (Tồn tại $a \in L(G)$ sao cho (Ad g)(a) ≠ a. Gọi φ là một ánh xạ mũ của G. Gọi y là ảnh của 1 qua ánh xạ tiếp xúc tại 0 của $\lambda \mapsto (\varphi(\lambda a), g)$ (trong đó $\lambda \in K$). Ta có $b = (\mathrm{Ad}\ g - 1)(a) \neq 0$. Tồn tại các $x_1, \ldots, x_m$ trong $V$ sao cho { (Ad $x_1$)(b), ..., (Ad $x_m$)(b) } chứa một cơ sở của L(G).

Xét ánh xạ $(x'_1, \ldots, x'_m, y_1, \ldots, y_m) \mapsto \prod_{i=1}^{m} x'_i(y_i, g){x'_i}^{-1}$ từ $G^{2m}$ vào G. Chứng minh rằng ánh xạ tiếp xúc tại $(x_1, \ldots, x_m, e, \ldots, e)$ là toàn ánh.)

b) Cho U là một lân cận của e trong G. Cho m là một số nguyên $\geq 1$. Tồn tại một phần tử g của G có nhóm con trung tâm hóa không mở, sao cho $M(g, m, G) \subset U$. (Lập luận phản chứng bằng cách sử dụng tính compact của G.)

c) Cho G’ là một nhóm Lie compact trên K có đại số Lie đơn. Cho $\varphi : G \to G'$ là một đồng cấu song ánh của các nhóm trừu tượng. Khi đó $\varphi$ là liên tục. (Áp dụng b) cho G’ và a) cho G.)