Exercice 1, § 6

Soit $D$ l’ensemble des éléments de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ de la forme $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}$ où $a > 0$ et $b \in \mathbf{C}$. Montrer que $D$ est un sous-groupe de Lie du groupe de Lie réel sous-jacent à $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$, et que l’application $(u, d) \mapsto ud$ de $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C}) \times D$ dans $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ est un isomorphisme de variétés analytiques réelles. Déduire de là, et du § 3, exerc. 7 c), que $\mathbf{SL}(2, \mathbf{C})$ est simplement connexe.