Exercice 2, § 7

Soient G un groupe de Lie, $\varphi : U \to G$ une application exponentielle ayant les propriétés de la prop. 3, V un voisinage de 0 dans U tel que $ZV \subset V$, $\psi : V \to G$ une application tangente en 0 à $\varphi$ et telle que $\psi(nx) = \psi(x)^n$ pour tout $x \in V$ et tout $n \in \mathbf{Z}$. Si $p > 0$, on a $\psi = \varphi|V$. (Normer $L(G)$. Soit $x \in V$. Alors $p^n x$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$, donc il existe des $\alpha_n > 0$ tels que $\alpha_n$ tende vers 0 et $\|(\varphi^{-1} \circ \psi)(p^n x) - p^n x\| \leq \alpha_n \|p^n x\|$. Or $\psi(p^n x) = \psi(x)^{p^n}$, d’où $\|(\varphi^{-1} \circ \psi)(x) - x\| \leq \alpha_n \|x\|$.)