Bài tập 2, § 7

Cho G là một nhóm Lie, $\phi : U \to G$ là một ánh xạ mũ với các tính chất của Mệnh đề 3, V là một lân cận của 0 trong U sao cho $\mathbf{Z}V \subset V$ và $\psi : V \to G$ là một ánh xạ tiếp xúc tại 0 với $\phi$ sao cho $\psi(nx) = \psi(x)^n$ với mọi $n \in V$ và mọi $n \in \mathbf{Z}$. Nếu $p > 0$, thì $\psi = \phi | V$. (Trang bị cho L(G) một chuẩn. Cho $x \in V$. Khi đó $p^n x$ tiến tới 0 khi n tiến tới $+\infty$, do đó tồn tại $\alpha_n > 0$ sao cho $\alpha_n$ tiến tới 0 và $\| (\phi^{-1} \circ \psi)(p^n x) - p^n x \| \leq \alpha_n \| p^n x \|$. Nhưng $\psi(p^n x) = \psi(x)^{p^n}$, do đó $\| (\phi^{-1} \circ \psi)(x) - x \| \leq \alpha_n \| x \|$.)