Exercice 3, § 7

Soient U l’ensemble des éléments inversibles de A, et $U' = 1 + m \subset U$. a) Montrer que $U' \subset U_f$. (Si $x = 1 + y$ avec $y \in m$, alors $x^{p^n}$ tend vers 1 quand $n$ tend vers $+\infty$ d’après la formule du binôme.) b) Montrer que $U_f$ est l’ensemble des éléments de U dont l’image dans $A/m$ est racine de l’unité. (Utiliser a).) Retrouver ainsi le fait que $U = U_f$ lorsque K est localement compact ($A/m$ est alors fini).