Exercice 6, § 7

Dans cet exercice, $l$ désigne un nombre premier $\neq 2$. Si $a$ est un entier $\neq 0$, on note $v_l(a)$ la valuation $l$-adique de $a$, i.e. le plus grand entier $e$ tel que $a \equiv 0 \pmod{l^e}$.

a) Soit $m$ un entier $\geqslant 1$. On pose

Montrer que, si $x$ est un entier premier à $l$, on a

et qu’il y a égalité si l’image de $x$ dans le groupe cyclique $(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$ est un générateur de ce groupe.

b) Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. On pose

Montrer que

où le symbole $[\alpha]$ désigne la partie entière du nombre réel $\alpha$.

Montrer que, si $x$ est un entier premier à $l$, on a

et qu’il y a égalité si l’image de $x$ dans $(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$ est un générateur de ce groupe.

c) Les notations étant celles de l’exerc. 5 c), montrer que $l^{r(l,n)}$ est la plus grande puissance de $l$ qui divise tous les $a_n(p)$, pour $p$ premier $\neq l$ (ou pour tout $p$ assez grand, cela revient au même). (Utiliser b), appliqué à $x = p$; choisir ensuite $p$ tel que son image dans $(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$ soit un générateur de ce groupe, ce qui est possible d’après le théorème de la progression arithmétique.$^1$

d) Soit $\Gamma$ un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$, et soit $l^e$ la plus grande puissance de $l$ divisant l’ordre de $\Gamma$. Montrer que l’on a $e \leqslant r(l, n)$. (Utiliser l’exerc. 5 pour prouver que $l^e$ divise tous les $a_n(p)$, puis appliquer c) ci-dessus.)

e) Inversement, montrer qu’il existe un $l$-sous-groupe fini $\Gamma_{l,n}$ de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ dont l’ordre est $l^{r(l,n)}$. (Se ramener au cas où $n$ est de la forme $l^a(l - 1)$, avec $a \geqslant 0$. Décomposer $\mathbf{Q}^n$ en somme de $l^a$ copies de $\mathbf{Q}^{l-1}$, et utiliser cette décomposition pour faire opérer sur $\mathbf{Q}^n$ le produit semi-direct $\mathrm{H}_{l,n}$ du groupe symétrique $\mathfrak{S}_{l^a}$ et du groupe $(\mathbf{Z}/l\mathbf{Z})^{l^a}$. Prendre pour $\Gamma_{l,n}$ un $l$-groupe de Sylow de $\mathrm{H}_{l,n}$.)

Montrer que, si $n$ est pair, $\Gamma_{l,n}$ est contenu dans un conjugué du groupe symplectique $\mathbf{Sp}(n, \mathbf{Z})$.

f) Soit $\Gamma$ un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ qui soit un $l$-groupe. Montrer que $\Gamma$ est conjugué d’un sous-groupe de $\Gamma_{l,n}$. (Montrer d’abord, en utilisant une réduction modulo $p$ convenable, que la réduction de $\Gamma$ est un sous-groupe fini de la réduction d’un conjugué de $\Gamma_{l,n}$; puis utiliser le caractère de la représentation de $\Gamma$ dans $\mathbf{Q}^n$.) En particulier, tout sous-groupe de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ d’ordre $l^{r(l,n)}$ est conjugué de $\Gamma_{l,n}$

1 Pour une démonstration de ce théorème, voir par exemple A. SELBERG, Ann. of Math., t. L (1949), p. 297–304.