Bài tập 6, § 7

Trong bài tập này, $l$ ký hiệu một số nguyên tố $\neq 2$. Nếu $a$ là một số nguyên $\neq 0$, gọi $v_l(a)$ là giá trị $l$-adic của $a$, tức là số nguyên lớn nhất $e$ sao cho $a \equiv 0 \pmod{l^e}$.

(a) Cho $m$ là một số nguyên $\geq 1$. Ta viết

Chứng minh rằng, nếu $x$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $l$, thì và rằng có đẳng thức nếu ảnh của $x$ trong nhóm cyclic $(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$ là một phần tử sinh của nhóm này.

(b) Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$. Ta viết

Chứng minh rằng

trong đó ký hiệu $[\alpha]$ chỉ phần nguyên của số thực $\alpha$. Chứng minh rằng, nếu $x$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $l$, thì

và rằng có đẳng thức nếu ảnh của $x$ trong $(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$ là một phần tử sinh của nhóm này.

(c) Với ký hiệu của Bài tập 5 (c), chứng minh rằng $l^{r(l, n)}$ là lũy thừa lớn nhất của $l$ chia hết cho mọi $a_n(p)$, với $p$ nguyên tố $\neq l$ (hoặc với mọi $p$ đủ lớn, điều này tương đương với trường hợp trên). (Áp dụng (b) cho $x = p$; sau đó chọn $p$ sao cho ảnh của nó trong $(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$ là một phần tử sinh của nhóm này, điều này có thể thực hiện được nhờ định lý cấp số cộng.\footnote{Để chứng minh định lý này, xem chẳng hạn A. Selberg, Ann. of Math., 50 (1949), tr. 297–304.})

(d) Cho $\Gamma$ là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ và cho $l^e$ là lũy thừa lớn nhất của $l$ chia hết cho cấp của $\Gamma$. Chứng minh rằng $e \leq r(l, n)$. (Dùng Bài tập 5 để chứng minh rằng $l^e$ chia hết cho mọi $a_n(p)$ và sau đó áp dụng (c) ở trên.)

(e) Đảo lại, chứng minh rằng tồn tại một $l$-nhóm con hữu hạn $\Gamma_{l, n}$ của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ có cấp bằng $l^{r(l, n)}$. (Rút gọn về trường hợp $n$ có dạng $l^a(l-1)$, với $a \geq 0$. Phân tích $\mathbf{Q}^n$ thành một tổng gồm $l^a$ bản sao của $\mathbf{Q}^{l-1}$ và dùng sự phân tích này để xác định một phép toán trên $\mathbf{Q}^n$ của tích nửa trực tiếp $H_{l, n}$ của nhóm đối xứng $S_{la}$ và nhóm $(\mathbf{Z}/l\mathbf{Z})^{la}$. Lấy $\Gamma_{l, n}$ là một $l$-nhóm Sylow của $H_{l, n}$.)

Chứng minh rằng, nếu $n$ là số chẵn, thì $\Gamma_{l, n}$ được chứa trong một liên hợp của nhóm symplectic $\mathbf{Sp}(n, \mathbf{Z})$.

(f) Cho $\Gamma$ là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ là một $l$-nhóm. Chứng minh rằng $\Gamma$ liên hợp với một nhóm con của $\Gamma_{l, n}$. (Trước hết hãy chứng minh, bằng cách dùng một phép rút gọn modulo $p$ thích hợp, rằng ảnh rút gọn của $\Gamma$ là một nhóm con hữu hạn của ảnh rút gọn của một liên hợp của $\Gamma_{l, n}$; sau đó dùng đặc trưng của biểu diễn của $\Gamma$ trên $\mathbf{Q}^n$.) Đặc biệt, mọi nhóm con của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ có cấp $l^{r(l, n)}$ đều liên hợp với $\Gamma_{l, n}$