Exercice 2, § 8

Soit $G$ l’espace hilbertien des suites $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots)$ de nombres réels tels que $\sum_i \lambda_i^2 < +\infty$. On considère $G$ comme un groupe de Lie réel. Soit $G_n$ l’ensemble des $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots) \in G$ tels que $\lambda_m \in \frac{1}{m} \mathbf{Z}$ pour $1 \leq m \leq n$. Les $G_n$ sont des sous-groupes de Lie fermés de $G$, donc $H = \bigcap_n G_n$ est un sous-groupe fermé de $G$. Mais ce sous-groupe est totalement discontinu non discret, donc n’est pas un sous-groupe de Lie de $G$.