Exercice 5, § 8

Soient $G$ un groupe topologique séparé, $H$ un sous-groupe fermé de $G$, $\pi$ l’application canonique de $G$ sur $G/H$. On suppose que $H$ est un groupe de Lie réel de dimension finie. Il existe un voisinage $U$ de $\pi(e)$ dans $G/H$, et une application continue $\sigma$ de $U$ dans $G$, tels que $\pi \circ \sigma = \mathrm{Id}_U$. (Soit $\rho$ une représentation linéaire analytique de $H$ dans $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$, qui soit localement un homéomorphisme (§ 6, cor. du th. 1). Soit $f$ une fonction continue $\geq 0$ sur $G$, égale à 1 en $e$, nulle hors d’un voisinage $V$ assez petit de $e$. Soit $ds$ une mesure de Haar à gauche de $H$. Pour $x \in G$, on pose $g(x) = \int f(xs) \rho(s)^{-1} ds \in \mathbf{M}_n(\mathbf{R})$. On a $g(xt) = g(x)\rho(t)$ pour $x \in G$ et $t \in H$. Si $V$ est assez petit, $g(x) \in \mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$ pour $x$ assez voisin de $e$. Utiliser enfin le fait que le théorème à démontrer est vrai localement pour $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$ et $\rho(H)$.)