Bài tập 5, § 8

Cho $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff, $H$ là một nhóm con đóng của $G$ và $\pi$ là ánh xạ chính tắc của $G$ lên $G/H$. Giả sử rằng $H$ là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều. Tồn tại một lân cận $U$ của $\pi(e)$ trong $G/H$ và một ánh xạ liên tục $\sigma$ từ $U$ vào $G$ sao cho $\pi \circ \sigma = \mathrm{Id}_U$. (Cho $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của $H$ trên $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$, là một đồng phôi địa phương (§ 6, Hệ quả của Định lý 1). Cho $f$ là một hàm liên tục $\geqslant 0$ trên $G$, bằng 1 tại $e$ và không bên ngoài một lân cận đủ nhỏ của $e$. Cho $ds$ là một độ đo Haar trái của $H$. Với $x \in G$, ta viết

Khi đó $g(xt) = g(x)\rho(t)$ với $x \in G$ và $t \in H$. Nếu $V$ đủ nhỏ,

với $x$ đủ gần $e$. Cuối cùng sử dụng sự kiện rằng định lý cần chứng minh là đúng địa phương đối với $\mathbf{GL}(n, \mathbf{R})$ và $\rho(H)$.