Exercice 10, § 9

Groupes et algèbres de Lie, III

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie. Soit

p = \dim[L(G), L(G)].

Munissons (G, G) de sa structure de sous-groupe intégral de G. Il existe un voisinage V de e dans (G, G) tel que tout élément de V soit produit de

p

commutateurs d’éléments de G. (Soient

x_1, y_1, \ldots, x_p, y_p

des éléments de L(G) tels que les

[x_i, y_i]

forment une base de L(G). Posons, pour s, t dans

\mathbf{R}

\rho_i(s, t) = (\exp sy_i)^{-1}(\exp tx_i)^{-1}(\exp sy_i)(\exp tx_i).

Appliquer le théorème des fonctions implicites à l’application

(s_1, t_1, \ldots, s_p, t_p) \mapsto \rho_1(s_1, t_1) \cdots \rho_p(s_p, t_p)

\mathbf{R}^{2p}

dans (G, G).)

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.