Exercice 12, § 9

Groupes et algèbres de Lie, III

Soit $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $K^3$ . On considère sur $K^3$ la structure d’algèbre de Lie nilpotente telle que $[e_1, e_2] = e_3,\ [e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0$ . Pour la loi de groupe associée sur $K^3$ (n° 5), on a

(x, y, z)(x', y', z') = (x + x', y + y', z + z' + \frac{1}{2}(xy' - yx')).

L’application

(\lambda, \mu, v) \mapsto (\exp \lambda e_1)(\exp \mu e_2)(\exp v(e_1 + e_3))

K^3

dans G n’est ni surjective (montrer que (0, 1, 1) n’est pas dans l’image) ni injective (montrer que (0, 1, 0) et (1, 1, −1) ont même image).

Solution

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