Exercice 13, § 9

a) On définit une multiplication sur $\mathbf{R}^3$ de la manière suivante:

Montrer qu’on obtient ainsi un groupe de Lie réel résoluble G tel que $DG = \mathbf{R}^2 \times \{0\}$. Le centre Z de G est $\{0\} \times \{0\} \times 2\pi \mathbf{Z}$. b) Pour $(x, y, z) \in G$, soit $\pi(x, y, z)$ l’application

de $\mathbf{R}^2$ dans $\mathbf{R}^2$. Montrer que $\pi$ est un morphisme de $G$ sur un sous-groupe de Lie $G'$ du groupe affine de $\mathbf{R}^2$, engendré par les translations et les rotations de $\mathbf{R}^2$. Montrer que $\mathrm{Ker}\, \pi = \mathbf{Z}$. c) On identifie canoniquement $L(G) = T_{(0,0,0)}G$ à $\mathbf{R}^3$. Soit $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbf{R}^3$. Montrer que $[e_1, e_2] = 0, [e_3, e_1] = e_2, [e_3, e_2] = -e_1$. d) Montrer que, pour $c \neq 0$, on a

En déduire que, pour tout $u \in L(G)$, on a $Z \subset \exp(\mathbf{R}u)$. Montrer que $\exp_G : L(G) \to G$ n’est ni injective ni surjective.