Bài tập 13, § 9

(a) Một phép nhân được xác định trên $\mathbf{R}^3$ như sau:

Chứng minh rằng như vậy thu được một nhóm Lie thực giải được G sao cho $DG = \mathbf{R}^2 \times \{0\}$. Tâm Z của G là $\{0\} \times \{0\} \times 2\pi \mathbf{Z}$.

(b) Với $(x, y, z) \in G$, cho $\pi(x, y, z)$ là ánh xạ

của $\mathbf{R}^2$ vào $\mathbf{R}^2$. Chứng minh rằng $\pi$ là một cấu xạ của G lên một nhóm con Lie $G'$ của nhóm afin của $\mathbf{R}^2$, sinh bởi các phép tịnh tiến và các phép quay của $\mathbf{R}^2$. Chứng minh rằng $\mathrm{Ker}\, \pi = \mathbf{Z}$.

(c) Ta đồng nhất một cách chính tắc $L(G) = T_{(0, 0, 0)}G$ với $\mathbf{R}^3$. Gọi $(e_1, e_2, e_3)$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^3$. Chứng minh rằng $[e_1, e_2] = 0, [e_3, e_1] = e_2, [e_3, e_2] = -e_1$.

(d) Chứng minh rằng, với $c \neq 0$,

Suy ra rằng, với mọi $u \in L(G)$, $Z \subset \exp(\mathbf{R}u)$. Chứng minh rằng $\exp_G : L(G) \to G$ không đơn ánh cũng không toàn ánh.