a) Soient x ∈ s l ( 2 , R ) x \in \mathfrak{sl}(2, \mathbf{R}) x ∈ sl ( 2 , R ) Δ = det x \Delta = \det x Δ = det x
e x = c h − Δ . I + s h − Δ − Δ ⋅ x si Δ < 0
e^x = \mathrm{ch} \sqrt{-\Delta}.I + \frac{\mathrm{sh} \sqrt{-\Delta}}{\sqrt{-\Delta}} \cdot x \quad \text{si } \Delta < 0
e x = ch − Δ . I + − Δ sh − Δ ⋅ x si Δ < 0 e x = cos Δ . I + sin Δ Δ ⋅ x si Δ > 0.
e^x = \cos \sqrt{\Delta}.I + \frac{\sin \sqrt{\Delta}}{\sqrt{\Delta}} \cdot x \quad \text{si } \Delta > 0.
e x = cos Δ . I + Δ sin Δ ⋅ x si Δ > 0. b) Soit
H = S L ( 2 , R ) H = \mathbf{SL}(2, \mathbf{R}) H = SL ( 2 , R ) . Montrer que
g = ( λ 0 0 λ − 1 ) ∈ H g = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \in H g = ( λ 0 0 λ − 1 ) ∈ H est dans l’image de
exp H \exp_H exp H si et seulement si
λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 ou
λ = − 1 \lambda = -1 λ = − 1 . Si
λ > 0 \lambda > 0 λ > 0 , tous les sous-groupes à un paramètre contenant
g g g sont égaux.