Exercice 17, § 9

a) On note $c$ une algèbre de Lie résoluble réelle admettant une base $(a, b, c)$ telle que $[a, b] = c, [a, c] = -b, [b, c] = 0$. On note $\mathfrak{d}$ une algèbre de Lie résoluble réelle admettant une base $(a, b, c, d)$ telle que $[a, b] = c, [a, c] = -b, [b, c] = d, [a, d] = [b, d] = [c, d] = 0$. Soit $g$ une algèbre de Lie résoluble réelle. Si $g$ contient des éléments non nuls $x, y, z$ tels que $[x, y] = z$ et $[x, z] = -y$, alors $g$ contient une sous-algèbre isomorphe à $c$ ou à $\mathfrak{d}$. (On pose $a_1 = y, b_1 = z, c_1 = [y, z]$; on définit par récurrence $a_t, b_t, c_t$ tels que $a_t = [a_{t-1}, c_{t-1}], b_t = [b_{t-1}, c_{t-1}], c_t = [a_t, b_t]$. Considérer le plus petit entier $k$ tel que $c_k = 0$.) b) Soient $g$ et $g^*$ des algèbres de Lie résolubles réelles et $\varphi$ un homomorphisme de $g$ sur $g^*$. Si $g^*$ contient une sous-algèbre isomorphe à $c$ ou à $\mathfrak{d}$, $g$ possède la même propriété. c) Soit $\mathfrak{h}$ une algèbre de Lie résoluble complexe. Considérons une suite de Jordan-Hölder pour la représentation adjointe de $\mathfrak{h}$; les quotients de cette suite définissent des représentations de dimension 1 de $\mathfrak{h}$, donc des formes linéaires sur $\mathfrak{h}$. Ces formes linéaires, qui ne dépendent que de $\mathfrak{h}$, s’appellent les racines de $\mathfrak{h}$. Si $\mathfrak{h}'$ est une algèbre de Lie résoluble réelle, on appelle racines de $\mathfrak{h}'$ les restrictions à $\mathfrak{h}'$ des racines de $\mathfrak{h}' \otimes_\mathbf{R} \mathbf{C}$.

Ceci posé, soient $G$ un groupe de Lie réel résoluble simplement connexe de dimension finie, $g$ son algèbre de Lie. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ $\exp_G$ est injective; $\beta)$ $\exp_G$ est surjective; $\gamma)$ $\exp_G$ est bijective; $\delta)$ $\exp_G$ est un isomorphisme de la variété analytique $L(G)$ sur la variété analytique $G$; $\varepsilon)$ $L(G)$ ne contient aucune sous-algèbre isomorphe à $c$ ou $\mathfrak{d}$; $\zeta)$ il n’existe pas d’algèbre quotient de $L(G)$ admettant une sous-algèbre isomorphe à c ; η) toute racine de g est de la forme φ + iφ' avec φ, φ' dans g* et φ' proportionnelle à φ ; θ) pour tout x ∈ g, la seule valeur propre (dans C) imaginaire pure de ad x est 0.¹