Bài tập 17, § 9

(a) Cho $c$ là một đại số Lie giải được thực với một cơ sở $(a, b, c)$ sao cho $[a, b] = c, [a, c] = -b, [b, c] = 0$. Cho $d$ là một đại số Lie giải được thực với một cơ sở $(a, b, c, d)$ sao cho $[a, b] = c, [a, c] = -b, [b, c] = d, [a, d] = [b, d] = [c, d] = 0$. Cho $g$ là một đại số Lie giải được thực. Nếu $g$ chứa các phần tử khác không $x, y, z$ sao cho $[x, y] = z$ và $[x, z] = -y$, thì $g$ chứa một đại số con đẳng cấu với $c$ hoặc $d$. (Viết $a_1 = y, b_1 = z, c_1 = [y, z]$; định nghĩa $a_i, b_i, c_i$ quy nạp bởi $a_i = [a_{i-1}, c_{i-1}], b_i = [b_{i-1}, c_{i-1}], c_i = [a_i, b_i]$. Xét số nguyên nhỏ nhất $k$ sao cho $c_k = 0$.)

(b) Cho $g$ và $g^*$ là các đại số Lie giải được thực và $\phi$ là một đồng cấu của $g$ lên $g^*$. Nếu $g^*$ chứa một đại số con đẳng cấu với $c$ hoặc $d$, thì $g$ có cùng tính chất đó.

(c) Cho $h$ là một đại số Lie giải được phức. Xét một chuỗi Jordan–Hölder đối với biểu diễn phụ hợp của $h$; các thương của chuỗi này định nghĩa các biểu diễn 1-chiều của $h$ và do đó các dạng tuyến tính trên $h$. Các dạng tuyến tính này, chỉ phụ thuộc vào $h$, được gọi là các căn của $h$. Nếu $h'$ là một đại số Lie giải được thực, các căn của $h'$ là các hạn chế xuống $h'$ của các căn của $h' \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$.

Khi đó cho $G$ là một nhóm Lie thực giải được liên thông đơn liên hữu hạn chiều và $g$ là đại số Lie của nó. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: ($\alpha$) $\exp_G$ là đơn ánh; ($\beta$) $\exp_G$ là toàn ánh; ($\gamma$) $\exp_G$ là song ánh; ($\delta$) $\exp_G$ là một đẳng cấu của đa tạp giải tích $L(G)$ lên đa tạp giải tích $G$; ($\varepsilon$) $L(G)$ không chứa đại số con nào đẳng cấu với $c$ hoặc $d$; ($\zeta$) không tồn tại đại số thương nào của $L(G)$ nhận một đại số con đẳng cấu với $c$; ($\eta$) mọi nghiệm của $g$ đều có dạng $\phi + i\phi'$ trong đó $\phi, \phi'$ thuộc $g^*$ và $\phi'$ tỉ lệ với $\phi$; ($\theta$) với mọi $x \in g$, trị riêng thuần ảo duy nhất (trong $\mathbf{C}$) của $\mathrm{ad}\, x$ là 0.\footnote{Để biết thêm chi tiết, xem M. Saito, Sur certains groupes de Lie résolubles, Các công trình khoa học của Trường Đại cương, Đại học Tokyo, 7 (1957), tr. 1–11 và 157–168.}