Exercice 21, § 9

a) Soit G un groupe de Lie réel résoluble simplement connexe ayant les propriétés suivantes: α) L(G), de dimension n, possède un idéal commutatif de dimension n − 1, correspondant à un sous-groupe A de G; β) il existe un élément σ du centre de G qui n’appartient pas à A. Montrer qu’il existe un élément x de L(G) tel que exp x = σ. Montrer que L(G) est produit d’un idéal commutatif et d’un idéal admettant une base (x, a₁, b₁, ..., aₖ, bₖ) telle que a₁, b₁, ..., aₖ, bₖ appartiennent à L(A), [x, aᵢ] = 2πnᵢbᵢ, [x, bᵢ] = −2πnᵢaᵢ ($n_i \in \mathbf{Z} - \{0\}$) pour tout i. Généraliser à G les résultats de l’exerc. 13 d). b) Soit G un groupe de Lie réel résoluble simplement connexe de dimension finie. Soit D un sous-groupe discret du centre de G. Il existe une base (x₁, x₂, ..., xₙ) de L(G) et un entier $r \leq n$ possédant les propriétés suivantes: α) tout élément de G s’écrit de manière unique sous la forme (exp t₁x₁) ... (exp tₙxₙ) où t₁, ..., tₙ sont dans $\mathbf{R}$; β) x₁, ..., x₇ sont deux à deux permutable et (exp x₁, ..., exp x₇) est une base du groupe commutatif D. (Raisonner par récurrence sur la dimension de G. Soit a un idéal commutatif maximal de L(G). Soit A le sous-groupe

¹ Pour plus de détails, cf. M. SAITO, Sur certains groupes de Lie résolubles, Sci. Papers of the College of General Education, Univ. of Tokyo, t. VII (1957), p. 1–11 et 157–168.

intégral correspondant. Alors A est fermé dans G et DA/A est un sous-groupe discret du centre de G/A, auquel on applique l’hypothèse de récurrence, d’où des éléments $x_1^*, \ldots, x_m^*$ de $L(G/A)$ et un entier s. Pour $1 \leq i \leq s$, soit $\sigma_i$ un élément de D dont la classe modulo A est $\exp x_i^*$. Construire de proche en proche, en utilisant a), des représentants $x_1, \ldots, x_m$ de $x_1^*, \ldots, x_m^*$ tels que $\exp x_i = \sigma_i$ et $[x_i, x_j] = 0$ pour $1 \leq i, j \leq s$.)

c) Déduire de b) que tout groupe de Lie réel résoluble connexe de dimension finie est homéomorphe à un espace $\mathbf{R}^n \times \mathbf{T}^m$ ($m, n$ entiers $\geq 0$).