Bài tập 21, § 9

(a) Cho G là một nhóm Lie thực giải được liên thông đơn có các tính chất sau: ($\alpha$) $L(G)$, có chiều n, có một iđêan giao hoán có chiều $n - 1$, tương ứng với một nhóm con A của G; ($\beta$) tồn tại một phần tử $\sigma$ thuộc tâm của G không thuộc A. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $x$ của $L(G)$ sao cho $\exp x = \sigma$. Chứng minh rằng $L(G)$ là tích của một iđêan giao hoán và một iđêan có cơ sở

sao cho $a_1, b_1, \ldots, a_k, b_k$ thuộc $L(A)$, $[x, a_i] = 2\pi n_i b_i,\ [x, b_i] = -2\pi n_i a_i$ ($n_i \in \mathbf{Z} - \{0\}$) với mọi $i$. Tổng quát hóa các kết quả của Bài tập 13 (d) cho G.

(b) Cho G là một nhóm Lie thực giải được liên thông đơn hữu hạn chiều. Cho D là một nhóm con rời rạc của tâm của G. Tồn tại một cơ sở $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ của $L(G)$ và một số nguyên $r \leq n$ với các tính chất sau: (a) mọi phần tử của G có thể được viết duy nhất dưới dạng

trong đó $t_1, \ldots, t_n$ thuộc $\mathbf{R}$; (β) $x_1, \ldots, x_r$ từng đôi một giao hoán và là một cơ sở của nhóm giao hoán D. (Lập luận bằng quy nạp theo chiều của G. Gọi a là iđêan giao hoán cực đại của $L(G)$. Gọi A là nhóm con nguyên tương ứng. Khi đó A là đóng trong G và DA/A là một nhóm con rời rạc của tâm của $G/A$, mà giả thiết quy nạp có thể được áp dụng cho nó, do đó tồn tại các phần tử $x_1^*, \ldots, x_m^*$ của $L(G/A)$ và một số nguyên s. Với $1 \leq i \leq s$, gọi $\sigma_i$ là một phần tử của D có lớp modulo A là $\exp x_1^*$. Xây dựng từng phần tử một, sử dụng (a), các đại diện $x_1, \ldots, x_m$ của $x_1^*, \ldots, x_m^*$ sao cho $\exp x_i = \sigma_i$ và $[x_i, x_j] = 0$ với $1 \leq i, j \leq s.$\footnote{Để biết thêm chi tiết, xem C. Chevalley, Topological structure of solvable groups, Ann. of Math., 42 (1941), tr. 668–675.}

(c) Suy ra từ (b) rằng mọi nhóm Lie thực giải được liên thông hữu hạn chiều đều đẳng cấu đồng cấu với một không gian $\mathbf{R}^n \times \mathbf{T}^m$ ($m, n$ là các số nguyên $\geq 0$).