Exercice 22, § 9

Soit G un groupe de Lie réel connexe de dimension finie tel que $L(G)$ soit réductive. On a $G = (V \times S)/N$ où V est un espace vectoriel réel de dimension finie, où S est un groupe de Lie réel semi-simple simplement connexe, et où N est un sous-groupe discret central de $V \times S$. Alors $G/\overline{D^1}G$ est isomorphe à $V/\mathrm{pr}_1 N$. Donc $G/\overline{D^1}G$ est compact si et seulement si $\mathrm{pr}_1N$ engendre l’espace vectoriel V.