Exercice 23, § 9

a) Soit G un groupe de Lie réel commutatif de dimension finie, n’ayant qu’un nombre fini de composantes connexes. Pour que G soit compact, il faut et il suffit que toute représentation linéaire analytique de dimension finie de G dans un espace vectoriel complexe soit semi-simple. (Utiliser la démonstration de la prop. 32.) b) Soit G un groupe de Lie complexe commutatif de dimension finie, n’ayant qu’un nombre fini de composantes connexes. Soit N le noyau de $\exp_G$. Pour que N engendre sur $\mathbf{C}$ l’espace vectoriel $L(G)$, il faut et il suffit que toute représentation linéaire analytique de dimension finie de G soit semi-simple. (Utiliser a), le lemme 1, et la prop. 33.)