Bài tập 23, § 9

(a) Cho G là một nhóm Lie thực giao hoán hữu hạn chiều chỉ có một số hữu hạn thành phần liên thông. Để G là compact, điều kiện cần và đủ là mọi biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều của G trên một không gian vectơ phức đều nửa đơn. (Dùng chứng minh của Mệnh đề 32.)

(b) Cho G là một nhóm Lie phức giao hoán hữu hạn chiều chỉ có một số hữu hạn thành phần liên thông. Cho N là hạt nhân của $\exp_G$.

Để N sinh trên $\mathbf{C}$ không gian vectơ $L(G)$, điều kiện cần và đủ là mọi biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều của G đều nửa đơn. (Dùng (a), Bổ đề 1 và Mệnh đề 32.)