Exercice 33, § 9

Soit $\Gamma$ un groupe. Prouver l’équivalence des conditions suivantes: a) $\Gamma$ est nilpotent, sans torsion, et de type fini; b) il existe un groupe de Lie de type (N) (exerc. 29), contenant $\Gamma$ comme sous-groupe discret; c) il existe un groupe de Lie G de type (N) (exerc. 29), contenant $\Gamma$ comme sous-groupe discret, et tel que $G/\Gamma$ soit compact.

(L’équivalence de b) et c) résulte de l’exerc. 29. L’implication c) ⇒ a) se démontre par récurrence sur dim(G), par la méthode de l’exerc. 29 c). Pour prouver que a) ⇒ c), montrer d’abord que la Q-algèbre de Lie attachée au saturé de Γ (cf. chap. II, § 6, exerc. 4) est de dimension finie; prendre ensuite le produit tensoriel de cette algèbre avec R et le groupe de type (N) correspondant.)