Bài tập 33, § 9

Cho $\Gamma$ là một nhóm. Chứng minh sự tương đương của các điều kiện sau: (a) $\Gamma$ là lũy linh, không xoắn và sinh hữu hạn; (b) tồn tại một nhóm Lie kiểu (N) (Bài tập 29) chứa $\Gamma$ như một nhóm con rời rạc; (c) tồn tại một nhóm Lie $G$ kiểu (N) (Bài tập 29) chứa $\Gamma$ như một nhóm con rời rạc và sao cho $G/\Gamma$ là compact. (Sự tương đương của (b) và (c) suy ra từ Bài tập 29. Hàm ý (c) $\Rightarrow$ (a) được chứng minh bằng quy nạp theo $\dim(G)$ bằng phương pháp của Bài tập 29 (c). Để chứng minh (a) $\Rightarrow$ (c), trước hết hãy chứng minh rằng đại số Lie $\mathbf{Q}$ gắn với bão hòa của $\Gamma$ (xem Chương II, § 6, Bài tập 4) là hữu hạn chiều; sau đó lấy tích tenxơ của đại số này với $\mathbf{R}$ và nhóm kiểu (N) tương ứng.)