Exercice 39, § 9

Soient G un groupe de Lie réel connexe de dimension finie, H un sous-groupe intégral de G, $\overline{H}$ son adhérence dans G. On suppose que H possède la propriété (F) (exerc. 38). a) Soit x ∈ $\overline{H}$. Alors Ad_{L(G)x} laisse L(H) stable (n° 2, prop. 5); soit u(x) sa restriction à L(H).

Alors $u(\overline{H}) = \mathrm{Ad}_{L(H)}(H)$. (Observer que $\mathrm{Ad}_{L(H)}(H)$ est dense dans $u(\overline{H})$, et appliquer la propriété (F).) b) Soit $C$ le centre de $\overline{H}$. On a $\overline{H} = C.H$, et $C$ est l’adhérence du centre de $H$. (Vu a), si $x \in \overline{H}$, il existe $y \in H$ tel que $\mathrm{Ad}_{L(H)}x = \mathrm{Ad}_{L(H)}y$. Alors $\mathrm{Ad}(x^{-1}y)$ est l’identité dans $L(H)$, donc $x^{-1}y \in Z_{\overline{H}}(H)$ et $x \in Z_{\overline{H}}(H) . H$. Par continuité, $Z_{\overline{H}}(H)$ est égal à $C$. Le groupe $C$ est fermé dans $\overline{H}$, donc dans $G$; par suite, $\overline{C \cap H} \subset C$. Soit $x \in C$. Il existe une suite $(x_n)$ dans $H$ telle que $x_n$ tende vers $x$. Alors $\mathrm{Ad}_{L(H)} x_n$ tend vers 1, donc il existe une suite $(y_n)$ dans $H$ telle que $y_n$ tende vers $e$ et $\mathrm{Ad}_{L(H)} y_n = \mathrm{Ad}_{L(H)} x_n$. On a $y_n^{-1} x_n \in C \cap H$, et $y_n^{-1} x_n$ tend vers $x$. c) On a $H = \overline{H}$ si et seulement si le centre de $H$ est fermé dans $G$. (Utiliser b).)