Bài tập 39, § 9

Cho G là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều, H là một nhóm con nguyên của G và $\overline{H}$ là bao đóng của nó trong G. Giả sử rằng H có tính chất (F) (Bài tập 38).

(a) Cho $x \in \overline{H}$. Khi đó $\mathrm{Ad}_{L(G)}x$ giữ $L(H)$ ổn định (no. 2, Mệnh đề. 5); gọi $u(x)$ là hạn chế của nó lên $L(H)$. Khi đó $u(\overline{H}) = \mathrm{Ad}_{L(H)}(H)$. (Nhận thấy rằng $\mathrm{Ad}_{L(H)}(H)$ trù mật trong $u(\overline{H})$ và áp dụng tính chất (F).)

(b) Cho C là tâm của $\overline{H}$. Khi đó $\overline{H} = C.H$ và C là bao đóng của tâm của H. (Theo (a), nếu $x \in \overline{H}$, tồn tại $y \in H$ sao cho $\mathrm{Ad}_{L(H)}x = \mathrm{Ad}_{L(H)}y$. Khi đó $\mathrm{Ad}(x^{-1}y)$ là đồng nhất trên $L(H)$, do đó $x^{-1}y \in Z_{\overline{H}}(H)$ và $x \in Z_{\overline{H}}(H).H$. Theo tính liên tục, $Z_{\overline{H}}(H)$ bằng C. Nhóm C đóng trong $\overline{H}$ và do đó trong G; vì thế $\overline{C} \cap \overline{H} \subset C$. Cho $x \in C$. Tồn tại một dãy $(x_n)$ trong H sao cho $x_n$ tiến đến x. Khi đó $\mathrm{Ad}_{L(H)}x_n$ tiến đến 1 và do đó tồn tại một dãy $(y_n)$ trong H sao cho $y_n$ tiến đến e và $\mathrm{Ad}_{L(H)}y_n = \mathrm{Ad}_{L(H)}x_n$. Khi đó $y_n^{-1}x_n \in C \cap H$ và $y_n^{-1}x_n$ tiến đến x.)

(c) $H = \overline{H}$ khi và chỉ khi tâm của H đóng trong G. (Dùng (b).)