Exercice 40, § 9

Soient $H$ un groupe de Lie réel de dimension finie, $H_0$ sa composante neutre. a) On suppose que $H_0$ vérifie la condition (F) de l’exerc. 38, que $H/H_0$ est fini, et que le centre de $H_0$ est compact. Soient $G$ un groupe de Lie réel de dimension finie, et $f : H \to G$ un homomorphisme continu de noyau discret. Alors $f(H)$ est fermé dans $G$. (On se ramène au cas où $H$ est connexe. Comme le noyau de $f$ est discret, le centre de $f(H)$ est l’image par $f$ du centre de $H$ (lemme 1) donc est fermé dans $G$. Appliquer l’exerc. 39 c).) b) On suppose que $H_0$ est semi-simple et que $H/H_0$ est fini. Alors l’image de $H$ par une représentation linéaire continue de dimension finie est fermée dans le groupe linéaire. (Appliquer a) et l’exerc. 7 b).)