Bài tập 40, § 9

Cho H là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều và $H_0$ là thành phần đơn vị của nó.

(a) Giả sử rằng $H_0$ thỏa mãn điều kiện (F) của Bài tập 38, rằng $H/H_0$ là hữu hạn và rằng tâm của $H_0$ là compắc. Cho G là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều và $f : H \to G$ là một đồng cấu liên tục có hạt nhân rời rạc. Khi đó $f(H)$ đóng trong G. (Rút gọn về trường hợp H liên thông. Vì hạt nhân của f là rời rạc, tâm của $f(H)$ là ảnh dưới f của tâm của H (Bổ đề 1) và do đó đóng trong G. Áp dụng Bài tập 39 (c).)

(b) Giả sử rằng $H_0$ là nửa đơn và rằng $H/H_0$ là hữu hạn. Khi đó ảnh của H dưới một biểu diễn tuyến tính liên tục hữu hạn chiều là đóng trong nhóm tuyến tính. (Áp dụng (a) và Bài tập 7 (b).)