Exercice 41, § 9

Soient $G$ un groupe de Lie réel connexe de dimension finie, $\rho : G \to \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ un homomorphisme continu de noyau fini. Alors $\rho((G, G))$ est fermé dans $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$. (En utilisant les exerc. 7 b) et 40 a), on se ramène au cas où $G$ est produit semi-direct d’un groupe semi-simple $S$ et de son radical $R$. Tout élément de $\rho((G, R))$ est unipotent, donc $\rho((G, R))$ est fermé. Le sous-espace vectoriel $V_1$ des points fixes de $\rho((G, R))$ est $\neq \{0\}$. Il est stable par $\rho(G)$. En considérant $\mathbf{C}^n/V_1$, en raisonnant par récurrence sur $n$, et en utilisant la réductibilité complète de $\rho(S)$, on voit qu’on peut écrire $\mathbf{C}^n = V_1 \oplus \cdots \oplus V_q$ où chaque $V_i$ est stable par $\rho(S)$ et où $\rho((G, R))(V_i) \subset V_1 \oplus \cdots \oplus V_{i-1}$ pour tout $i$. D’autre part, $\rho(S)$ est fermé (exerc. 40 b)). Enfin, $\rho((G, G)) = \rho(S) . \rho((G, R))$.)