Bài tập 41, § 9

Cho G là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều và $\varphi : G \to \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ là một đồng cấu liên tục có hạt nhân hữu hạn. Khi đó $\varphi((G, G))$ đóng trong $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$. (Dùng Bài tập 7 (b) và 40 (a), rút gọn về trường hợp G là tích nửa trực tiếp của một nhóm nửa đơn S và căn của nó R. Mọi phần tử của $\varphi((G, R))$ đều là unipotent và do đó $\varphi((G, R))$ đóng. Không gian con vectơ $V_1$ gồm các điểm cố định của $\varphi((G, R))$ là $\neq \{0\}$. Nó ổn định dưới $\varphi(G)$. Bằng cách xét $\mathbf{C}^n/V_1$, lập luận theo quy nạp theo n và dùng tính khả quy hoàn toàn của $\varphi(S)$, ta thấy có thể viết

trong đó mỗi $V_i$ đều ổn định dưới $\varphi(S)$ và $\varphi((G, R))(V_i) \subset V_1 \oplus \cdots \oplus V_{i-1}$ với mọi i. Mặt khác, $\varphi(S)$ đóng (Bài tập 40 (b)). Cuối cùng, $\varphi((G, G)) = \varphi(S) \cdot \varphi((G, R))$.)