Exercice 42, § 9

Soit $G$ un groupe de Lie réel connexe de dimension finie. On suppose que $G$ admet une représentation linéaire continue injective $\rho : G \to \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$. Alors $G$ admet une représentation linéaire $\sigma : G \to \mathbf{GL}(n', \mathbf{C})$ qui est un homéomorphisme de $G$ sur un sous-groupe fermé de $\mathbf{GL}(n', \mathbf{C})$. (D’après l’exerc. 41, $\rho((G, G))$ est fermé dans $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$, donc $(G, G)$ est fermé dans $G$. Soient $p : G \to (G, G)$ le morphisme canonique, et $\tau$ une représentation linéaire injective d’image fermée de $G/(G, G)$ qui est connexe commutatif. Prendre $\sigma = \rho \oplus (\tau \circ p)$.)