Bài tập 42, § 9

Cho G là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều. Giả sử rằng

G có một biểu diễn tuyến tính liên tục đơn ánh $\rho : G \to \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$. Khi đó G có một biểu diễn tuyến tính $\sigma : G \to \mathbf{GL}(n', \mathbf{C})$ là một đồng cấu từ G lên một nhóm con đóng của $\mathbf{GL}(n', \mathbf{C})$. (Theo Bài tập 41, $\rho((G, G))$ đóng trong $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ và do đó $(G, G)$ đóng trong G. Gọi $\varphi : G \to (G, G)$ là cấu xạ chính tắc và $\tau$ là một biểu diễn tuyến tính đơn ánh có ảnh đóng của $G/(G, G)$, nhóm này liên thông và giao hoán. Lấy $\sigma = \rho \oplus (\tau \circ \varphi)$.)