Exercice 6, § 9

Soit $\Gamma$ le groupe de Lie réel nilpotent simplement connexe de dimension 3 défini dans l’exerc. 5 b) du § 4. Soit $\alpha \in \mathbf{R}$ un nombre irrationnel. Soit $P$ le sous-groupe discret de $\Gamma \times \mathbf{R}$ formé des $((0, 0, x), \alpha x)$, où $x \in \mathbf{Z}$. Soit $G = (\Gamma \times \mathbf{R})/P$. Montrer que $(G, G)$ est non fermé dans $G$.