Bài tập 6, § 9

Cho $\Gamma$ là nhóm Lie thực lũy linh đơn liên 3 chiều được định nghĩa trong Bài tập 5 (b) của § 4. Cho $\alpha \in \mathbf{R}$ là một số vô tỉ. Cho P là nhóm con rời rạc của $\Gamma \times \mathbf{R}$ gồm các $((0, 0, x), \alpha x)$, trong đó $x \in \mathbf{Z}$. Cho $G = (\Gamma \times \mathbf{R})/P$. Chứng minh rằng $(G, G)$ không đóng trong G.