Exercice 7, § 9

a) Soient $G$ un groupe de Lie réel connexe semi-simple, $Z$ son centre, $\rho$ une représentation linéaire continue de $G$ dans un espace vectoriel complexe de dimension finie. Il existe un entier $p$ tel que, pour tout $z \in Z$, $\rho(z)$ soit diagonalisable et que toutes les valeurs propres de $\rho(z)$ soient des racines $p$-ièmes de l’unité. (On peut supposer $\rho$ irréductible. Alors $\rho(z)$ est scalaire d’après le lemme de Schur. D’autre part, $\det \rho(g) = 1$ pour tout $g \in G$ parce que $G = \mathscr{D}G$.) b) En déduire que, si $G$ admet une représentation linéaire continue de dimension finie injective, $Z$ est fini.