Bài tập 7, § 9

(a) Cho G là một nhóm Lie thực liên thông nửa đơn, Z là tâm của nó và $\rho$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của G trên một không gian vectơ phức hữu hạn chiều. Tồn tại một số nguyên $p$ sao cho, với mọi $z \in Z$, $\rho(z)$ chéo hóa được và mọi trị riêng của $\rho(z)$ đều là các căn bậc $p$ của đơn vị. (Có thể giả sử rằng $\rho$ là bất khả quy. Khi đó $\rho(z)$ là vô hướng theo Bổ đề Schur. Mặt khác, $\det \rho(g) = 1$ với mọi $g \in G$ vì $G = \mathscr{D}G$.) (b) Suy ra rằng, nếu G thừa nhận một biểu diễn tuyến tính liên tục đơn ánh hữu hạn chiều, thì Z là hữu hạn.