Exercice 8, § 9

Soient $G$ un groupe de Lie réel connexe de dimension finie, $g$ son algèbre de Lie, $\mathfrak{n}$ le plus grand idéal nilpotent de $g$, $\mathfrak{h} = [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] + \mathfrak{n}$. a) $\mathfrak{h}$ est un idéal caractéristique de $g$; le radical de $\mathfrak{h}$ est $\mathfrak{n}$; pour tout $x \in \mathfrak{h}$, on a $\operatorname{Tr} \operatorname{ad}_{\mathfrak{h}} x = 0$; pour toute section de Levi $l$ de $g$, on a $\mathfrak{h} = l + \mathfrak{n}$.

b) On suppose G simplement connexe. Soient Z son centre, H le sous-groupe de Lie de G d’algèbre de Lie $\mathfrak{h}$, $\varphi$ le morphisme canonique de G sur G/H. Alors $\varphi(Z)$ est discret dans G/H. (Le groupe G est produit semi-direct d’un groupe de Lie semi-simple S et de son radical R. Soit $z \in Z$. On a $z = y^{-1}x$, où $x \in R$ et où y appartient au centre de S. Il existe un entier $p$ tel que les valeurs propres de $\mathrm{Ad}_g y$, donc aussi de $\mathrm{Ad}_g x$, soient des racines $p$-ièmes de l’unité (exerc. 7). En déduire que, si N est le sous-groupe de Lie de G d’algèbre de Lie $\mathfrak{n}$, il existe un voisinage U de e dans R vérifiant $U = UN = NU, Z \cap (\mathrm{SU}) \subset SN = H.$ c) On ne suppose plus G simplement connexe. Soit H le sous-groupe intégral de G d’algèbre de Lie $\mathfrak{h}$. Montrer que H est un sous-groupe de Lie de G, distingué, unimodulaire, de radical nilpotent, tel que G/H soit commutatif. (Utiliser a) et b).) d) En déduire que si (G, G) est dense dans G, le radical de G est nilpotent.