Bài tập 8, § 9

Cho G là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều, g là đại số Lie của nó, n là iđêan lũy linh lớn nhất của g và h = [g, g] + n.

(a) h là một iđêan đặc số của g; căn của h là n; với mọi x ∈ h, Tr ad_h x = 0; với mọi tiết diện Levi l của g, h = l + n.

(b) Giả sử rằng G đơn liên. Gọi Z là tâm của nó, H là nhóm Lie con của G có đại số Lie là h và φ là cấu xạ chính tắc của G lên G/H. Khi đó φ(Z) là rời rạc trong G/H. (Nhóm G là tích nửa trực tiếp của một nhóm Lie nửa đơn S và căn của nó R. Cho z ∈ Z. Khi đó z = y^{-1}x, trong đó x ∈ R và y thuộc tâm của S. Tồn tại một số nguyên p sao cho các trị riêng của Ad_g y, và do đó cũng của Ad_g x, là các căn bậc p của đơn vị (Bài tập 7). Suy ra rằng, nếu N là nhóm Lie con của G có đại số Lie là n, thì tồn tại một lân cận U của e trong R thỏa mãn U = UN = NU,

(c) Ta không còn giả thiết rằng G đơn liên. Gọi H là nhóm con nguyên của G có đại số Lie là h. Chứng minh rằng H là một nhóm Lie con chuẩn đơn môđula của G có căn lũy linh, sao cho G/H là giao hoán. (Sử dụng (a) và (b).)

(d) Suy ra rằng, nếu (G, G) là trù mật trong G, thì căn của G là lũy linh.