Exercice 9, § 9

Soit G le revêtement universel de $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$. Identifions à Z le noyau du morphisme canonique $G \to \mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ ($§ 6$, exerc. 2). Soit a un élément de $T^n$ dont les puissances sont partout denses dans $T^n$ (TG, VII, § 1, cor. 2 de la prop. 7). Soit D le sous-groupe discret de $G \times T^n$ engendré par (1, a). Soit $H = (G \times T^n)/D$. Alors $L(H) = \mathfrak{sl}(2, \mathbf{R}) \times \mathbf{R}^n$, et le sous-groupe intégral $H'$ de H d’algèbre de Lie $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{R})$ est isomorphe à G et dense dans H. On a $D^n H' = H'$ pour tout $n \geq 0$.